Probleme de Fizica pentru licee, bacalaureat si admitere in facultati: Mecanica, Autor: Anatolie Hristev

Lucrarea contine probleme de fizica din fizica predata la liceu. Se adreseaza elevilor din liceu, celor care se pregatesc pentru treapta a II-a de liceu, pentru examenul de bacalaureat si pentru examenul de admitere in invatamantul superior.

Pe langa problemele "obisnuite" rezolvabile cu ajutorul algebrei si trigonometriei, care se invata in prima treapta de liceu, lucrarea contine probleme de fizica de nivel mediu (notate cu asterisc *), rezolvabile cu ajutorul calculului diferential si integral, care se invata in treapta a doua de liceu. Elevii din clasele terminale de liceu stiu sa deriveze si sa integreze functii chiar mult mai complicate decat cele necesare pentru fizica de liceu, dar nu stiu sa aplice aceste cunostinte la rezolvarea problemelor de fizica. De aceea autorul da rezolvari foarte amanuntite pentru aceste probleme. Astfel de probleme ii vor invata pe elevi sa aplice acest minunat instrument matematic la rezolvarea problemelor de fizica de nivel mediu, invatandu-i sa faca rationamentul de baza, fizic si matematic, pentru scrierea relatiilor diferentiale ale proceselor sau fenomenelor fizice studiate. Aceasta parte poate fi folosita si de studenti la cursurile de fizica generala. Breviarele se refera in special la aceste probleme.

La sfarsitul cartii se dau Tabele utile de constante fizica.

*-probleme rezolvate amanuntit cu ajutorul derivatelor (cl. XI)

**-respectiv cu ajutorul integralelor (cl. XII)

(*),(**)-probleme care contin si o rezolvare fara derivate, respectiv fara integrale

Vol. I. Mecanica: 556+37*+98**=691 probleme

Urmeaza vol. II. Termodinamica, vol. III. Electricitate, vol. IV. Optica si Fizica atomica.

Autorul

La realizarea acestei carti a contribuit prof. Ryurick Marius Hristev.

Introducere[]

Cateva observatii generale privind rezolvarea problemelor notate cu asterisc * (unele din ele, notate cu asterisc in paranteze, se pot rezolva cu matematici elementare).

Marimile fizice sunt de obicei variabile in spatiu, de la punct la punct, si in timp, de la un moment la altul, adica sunt functii de coordonate si timp: f(x,y,z,t). Pentru a scrie relatii "globale" pentru fenomene si procese avand loc intr-un volum oarecare si intr-un interval de timp oarecare ar trebui folosite valori medii - mediate pe volumul si intervalul de timp respective. Dar insusi calculul acestor valori medii implica folosirea calcului integral. De aceea se studiaza intai procesele "local", adica intr-un anumit punct (x,y,z) si intr-un anumit moment t, mai exact intr-un element de volum dV situat in punctul considerat (x,y,z)(adica intr-un volum ΔV infinit de mic-infinitezimal-care tinde catre zero, restrangandu-se la punctul considerat) si intr-un interval de timp infinitezimal dt in jurul momentului considerat t(adica intr-un interval Δt infinit mic-infinitezimal-care tinde catre zero, restrangandu-se la momentul considerat t). Se stabile apoi relatii "diferentiale" intre diferentialele marimilor interesate si in sfarsit se integreaza (sumeaza) ecuatiile diferentiale obtinute pe volumul si intervalul de timp dorite. In locul cuvintelor: "marime infinit mica"(infinitezimala), diferentiala unei marimi, vom folosi cuvintele:"element de..." sau "... elementara", de exemplu: element de arie dS sau element de volum dV, deplasarea elementara ${\displaystyle d\vec r}$ , lucrul mecanic elementar ${\displaystyle dL=\vec F d \vec r}$ sau ${\displaystyle dL=pdV}$ efectuat intr-o deplasare elementara sau intr-un proces elementar de destindere a unui gaz, etc.

Iata cateva exemple simple:

a) Fie o substanta distribuita uniform intr-un vas. Raportul

${\displaystyle \bar \rho=\frac{m}{V}}$ (0.1)

da densitatea medie pe volumul V. Pentru a obtine densitatea intr-un punct dat consideram un element de volum dV situat in punctul dorit, avand masa dm. Atunci raportul

${\displaystyle \rho=\frac{dm}{dV}=\rho (x,y,z)}$ (0.2)

ne da densitatea in acel punct. Luand diferite puncte obtinem densitatea ${\displaystyle \rho (x,y,z)}$ ca functie de punct. Invers, cunoscand densitatea ${\displaystyle \rho (x,y,z)}$ cu care este distribuita substanta, putem calcula masa oricarui element de volum: ${\displaystyle dm=\rho dV=\rho (x,y,z)dV}$ (0.3)

si prin integrare (sumare) pe volumul dorit, gasim masa totala:

${\displaystyle m= \int dm =\int_{V} \rho dV=\int_{V} \rho (x,y,z)dV.}$ (0.4)

b) Sa calculam lucrul mecanic efectuat de un gaz perfect intr-o transformare izoterma. Sa consideram intai un proces elementar de destindere, adica un proces in care parametrii (p,V) de stare se schimba infinit de putin (presiunea p se schimba cu dp, volumul V cu dV). Lucrul mecanic elementar efectuat intr-un proces elementar de destindere este

${\displaystyle dL=\rho dV}$ (0.5)

de unde intr-un proces finit de destindere de la volumul initial ${\displaystyle V_1}$ pana la volumul final ${\displaystyle V_2}$:

${\displaystyle L=\int dL=\int_{V_1}^{V_2} pdV}$ (0.6)

Nu avem voie sa scoatem presiunea p de sub semnul intregralei decat daca p ar fi constanta. Pentru a face integrarea trebuie sa exprimam presiunea p in functie de volumul V. Din ecuatia de stare avem

${\displaystyle p=\frac{\nu RT}{V}}$ (0.7)

Deci

${\displaystyle L=\int_{V_1}^{V_2} \frac{\nu RT}{V} dV=\nu RT\int_{V_1}^{V_2} \frac{dV}{V} =\nu RT \ln \frac{V_2}{V_1}}$ (0.8)

(am scos de sub semnul integralei marimile constante ${\displaystyle \nu}$,R,T).

c) Fluxul magnetic imbratisat de un circuit variaza dupa legea:

${\displaystyle \Phi =\Phi_0 \sin (\omega t+\alpha)}$ (0.9)

Sa afla t.e.m. indusa ca functie de timp. Formula

${\displaystyle \bar \varepsilon =-\frac {\Delta \Phi}{\Delta t}}$ (0.10) ne da t.e.m. indusa medie si anume mediata pe intervalul de timp ${\displaystyle \Delta t}$ in care fluxul a variat cu ${\displaystyle \Delta \Phi}$. T.e.m. instantanee la un moment t se obitine luand un interval ${\displaystyle \delta t}$ infinit de mic in jurul lui t (care descreste, tinde catre zero in jurul lui t) si calculand variatia infinitezimala corespunzatoare a fluxului, cu alte cuvinte facand trecerea la limita:

${\displaystyle \varepsilon =-\lim_{\Delta t \to \ 0} \frac{\Delta \Phi}{\Delta t} =-\Phi 't=-\frac{d\Phi}{dt} =-\dot{\Phi}}$ (0.11)

deoarece limita raportului dintre cresterea (variatia) functiei si cresterea (variatia) variabilei independente reprezinta derivata acelei functii in raport cu variabila respectiva. Punctul deasupra unei litere inseamna derivata acelei marimi in raport cu timpul (notatia lui Newton folosita mai ales in mecanica)

Pentru functiile de o singura variabila

${\displaystyle df=f'(x)dx}$, (0.12)

adica derivata se reprezinta ca raport de diferentiale:

${\displaystyle f'(x)=\frac{df}{dx}}$. (0.13)

In cazul nostru derivam ca functie de functie:

${\displaystyle \varepsilon =-\frac{d\Phi}{dt} =-\frac{d\Phi}{d(\omega t+\alpha)} *\frac{d(\omega t+\alpha)}{dt} =\Phi_0 \cos (\omega t+\alpha) *\omega}$ (0.14)

d) Numarul de nuclee care se dezintegreaza intr-un interval de timp infinit de mic dt este proportional cu numarul de nuclee nedezintegrate N existente in acel moment t si cu intervalul de timp infinitezimal considerat:

${\displaystyle dN=-\lambda Ndt, \lambda}$-constanta radioactiva (0.15)

(pentru intervale ${\displaystyle \Delta t}$ mari nu mai exista proportionalitatea amintita), minusul se datoreaza faptului ca numarul nucleelor nedezintegrate scade in timp, deci dN<0. Am obtinut o ecuatie diferentiala, adica o relatie intre functia (necunoscuta), variabila (independenta) si diferentialele lor. Un caz frecvent si important este cazul separarii variabilelor. Transcriem ecuatia diferentiala astfel incat intr-un membru sa apara functia si diferentiala sa, iar in celalalt membru sa apara functia si diferentiala sa, iar in celalalt membru - variabila independenta si diferentiala sa (constantele pot fi lasate in oricare membru), pentru a putea integra separat fiecare membru in raport cu variabila sa (Metoda separarii variabilelor).

Separam deci variabilele in ecuatia (0.15) si integram de la t=0 cand numarul nucleelor nedezintegrate este ${\displaystyle N_0}$, pana la un moment t oarecare cand numarul nucleelor nedezintegrate este N:

${\displaystyle \frac{dN}{N} =-\lambda dt, \int_{0}^{t}\frac{dN}{N} =-\int_{0}^{t}\lambda dt=-\lambda \int dt}$, (0.16)

${\displaystyle \ln \frac{N}{N_0} =-\lambda t}$, de unde ${\displaystyle N=N_0e^{-\lambda t}}$ (0.17)

Se poate face integrarea nedefinita (cele doua constante de integrare aditive se restrang la una singura):

${\displaystyle \ln N =-\lambda t+C}$ (0.18)

unde constanta de integrare C se determina din conditia initiala: la momentul t=0 numarul moleculelor era ${\displaystyle N_0}$, deci

${\displaystyle \ln N_0 =-\lambda *0+C}$, de unde ${\displaystyle C=\ln N_0}$, (0.19)

${\displaystyle \ln N=-\lambda t+\ln N_0 , \ln \frac{N}{N_0} =-\lambda t, N=N_0e^{-\lambda t}}$ (0.20)

De multe ori este preferabila integrarea nedefinita in care constanta de integrare se determina din conditiile initiale sau la limita.

Amintim doua teoreme utile:

1. Daca suma a doua marimi variabile este constanta, atunci produsul lor este maxim cand sunt egale. Geometric: Dintre toate dreptunghiurile izoperimetrice aria maxima o are patratul.

2. Daca produsul a doua marimi variabile este constant, atunci suma lor este minima cand sunt egale. Geometric: Dintre toate dreptunghiurile de aceeasi arie perimetrul minim il are patratul.

Catre Breviar ->