Breviar Probleme de Fizica pentru licee, bacalaureat si admitere in facultati: Mecanica, Autor: Anatolie Hristev

Vectorul deplasare $\Delta \vec r=\vec r_2 - \vec r_1$ are drept componente deplasarile pe axele de coordonate: $\Delta x=x_2-x_1, \Delta y=y_2-y_1$. Raportandu-le la intervalul de timp $\delta t$ obtinem viteza medie si trecand la limita $\Delta t \to 0$, obtinem viteza instantanee (tangenta la traiectorie):

$\vec v =\lim_{\delta t \to 0} \frac{\Delta \vec r}{\Delta t} =\frac{d\vec r}{dt} =\vec r' (t)=\vec r$,

$v_x=\frac{dx}{dt} =x'(t)=\dot{x} , v_y=\frac{dy}{dt} =y'(t)=\dot{y}$. (1.1)

Componentele vectorului viteza pe axele de coordonate ortogonale sunt egale cu derivatele coordonatelor respective in raport cu timpul.

Analog, componentele vectorului acceleratie pe axele de coordonate ortogonale sunt egale cu derivatele componentelor respective ale vitezei, in raport cu timpul, sau cu derivatele de ordinul doi ale coordonatelor respective in raport cu timpul:

$\vec a =\lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta \vec v}{\Delta t} =\frac{d\vec v}{dt}=\vec v' (t)=\dot{\vec v}$

$a_x=\frac{dv_x}{dt} =v'_x (t)=\dot{v_x} =x''(t)=\ddot{x}$, (1.2)

$a_y=\frac{dv_y}{dt} =v'_y (t)=\dot{v_y} =y''(t)=\ddot{y}$.

Derivata de ordinul doi se scrie cu ajutorul diferentialelor astfel: $f'(x)=\frac{df}{dx} =\frac{d}{dx} f$ sau $(...)'_x=\frac{d}{dx} (...)$, (1.3)

deci $\frac{d}{dx}$ este "operatorul" de derivare in raport cu x.

$f''(x)=[f'(x)]'_x=\frac{d}{dx} [f'(x)]=\frac{d}{dx} \left (\frac{df}{dc} \right) =\frac{d^2 f}{dx^2}$. (1.4)

In cazul unidimensional vom omite indicii:

$v=\frac{dx}{dt}=x'(t)=\dot{x}, a=\frac{dv}{dt}=v'(t)=\dot{v}=x''(t)=\frac{d^2 x}{dt^2}=\ddot{x}$ (1.5)

de unde

$dx=vdt, dv=adt$ (1.6)

si prin integrare:

$x=\int dx=\int vdt, v=\int dv=\int adt$ (1.7)

In cazul miscarii circulare neuniforme viteza liniara si cea unghiulara sunt

$v=\lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta s}{\Delta t} =\frac{ds}{dt} =s'(t)=\dot{s}$,

$\omega=\lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta \theta}{\Delta t} =\frac{d\theta}{dt} =\theta '(t)=\dot{\theta}$ (1.8)

$s=\theta R, s'(t)=\theta '(t)R$ sau $v=\omega R$, (1.9)

de unde

$ds=vdt, s=\int ds=\int vdt, d\theta =\omega dt, \theta =\int d\theta=\int \omega dt$. (1.10)

Acceleratia se descompune in componentele normala si tangentiala:

$\vec a =\frac{d\vec v}{dt} , a_n=\frac{v^2}{R} =\omega ^2 R, a_t=\frac{dv}{dt} =s''(t)=\frac{d^2 s}{dt^2} =\varepsilon R$, (1.11)

unde $\varepsilon$ este acceleratia unghiulara:

$\varepsilon =\frac{d\omega}{dt}=\omega '(t)=\dot{\omega} =\theta ''(t)=\frac{d^2 \theta}{dt^2}=\ddot{\theta}$. (1.12)

Mai general, intr-o miscare curbilinie oarecare acceleratia se descompune in componentele tangentiala si normala:

$\vec a =\frac{d\vec v}{dt} , a_t=\frac{dv}{dt}=s''(t)=\frac{d^2 s}{dt^2}=\ddot{s} , a_r=\frac{v^2}{R}$(1.13)

unde R este raza de curbura a traiectoriei, care se defineste prin elementul de arc de curba ds raportat la unghiul $d\theta$ (in radiani) subintins, definit de normalele marginale la arcul ds (sau unghiul dintre tangentele marginale), ca in fig 1.1

$R=\frac{ds}{d\theta} , (ds=Rd\theta )$, (1.14)

adica arcul ds este aproximat cu un element de arc de cerc (cercul de curbura) de raza R cu centrul de curbura O care subintinde un unghil la centru $d\theta$.

Lucrul mecanic elementar dL efectuat intr-o deplasare elementara $d\vec r$ de o forta $\vec F$ este definit prin produsul scalar:

$dL=\vec F d\vec r=F_t ds, (\left \vert d\vec r \right \vert = \left \vert ds \right \vert )$, (1.15)

unde $F_t$ este componenta tangentiala a fortei si ds deplasarea elementara pe traiectorie. In cazul unidimensional

$dL=Fdx, L=\int Fdx$. (1.16)

Din principiul II al mecanicii rezulta teorema variatiei impulsului pentru punctul material:

$\vec F dt=md\vec v , \int_{t_1}^{t_2} \vec F dt=\int_{t_1}^{t_2} md\vec v =m\vec v_2 -m\vec v_1$, (1.17)

care proiectata pe axe da ecuatiile algebrice:

$\int_{t_1}^{t_2}F_x dt=mv_{2x} -mv_{1x}, \int_{t_1}^{t_2}F_y dt=mv_{2y} -mv_{1y}$. (1.18)

Energia potentiala a unei particule supuse la forte conservative se defineste prin lucrul mecanica al acestor forte:

$dE_p =-dL, \int dE_p =\Delta E_p =-\int dL=-L$. (1.19)

Alegand un pucnt de referinta $P_0$ (de obicei, la infinit) in care consideram $E_p =0$, avem pentru un punct P:

$E_p=-\int_{P_0}^{P} dL=-L_{P_0 \to P}$. (1.20)

De exemplu, energia potentiala de interactiune gravitationala a doua particule (sau sfere omogene):

$E_p =-\int_{infty}^{r} \vec F d\vec r =-\int_{infty}^{r} (-\gamma \frac{m_1 m_2}{r^2} dr=m_1 m_2 \int_{infty}^{r} \frac {dr}{r^2} =\gamma m_1 m_2 \left(-\frac{1}{r} \right) =-\gamma \frac{m_1 m_2}{r}$. (1.21)

Teorema varietiei energiei mecanice a unei particule supuse la forte conservative si la forte neconservative:

$\Delta E=\Delta (E_c +E_p )=L_{necons}$ (1.22)

Momentul de intertie al unui sistem de particule fata de o axa:

$I=\sum_{k} m_k R_k^2$, (1.23)

Unde $R_k$ sunt distantele particulelor respective $m_k$ pana la axa.

In cazul distributiei continue in locul particulei $m_k$ avem elementul de masa $dm=\rho dV$ cu distanta R pana la axa:

$I=\int R^2dm=\int R^2\rho dV$ (1.24)

unde $\rho$ poate fi scos in afara integralei numai daca este constant, adica pentru corpuri omogene, cand integrala devine pur geometrica.

Teorema lui Steiner. Momentul de inertie I al unui corp fata de o axa oarecare este egal cu momentul de inertie $I_0$ al corpului fata de o axa paralela cu cea data dar trecand prin centrul de masa plus masa corpului inmultita cu patratul distantei de la centrul de masa la axa data:

$I=I_0+mR_0^2$ (1.25)

In cazul rotatiei in jurul unei axe fixe:

$M=I\varepsilon , P=M*\omega , Pdt=dL=M\omega dt=Md\theta , L=\int Md\theta$, (1.26)

unde P este puterea iar M momentul fortelor in raport cu axa de rotatie.

Valoarea medie a unei marimi f(t) pe un interval $(t_1,t_2)$ este acea valoare constanta $\bar f$ care da aceeasi arie de sub grafic ca si marimea variabila insasi (fig 1.2)

$\bar f (t_2-t_1)=\int_{t_1}^{t_2} f(t)dt=\bar f\int_{t_1}^{t_2} dt, \bar f=\frac{1}{t_2-t_1} \int_{t_1}^{t_2} f(t)dt$. (1.27)

Valoarea medie depinde de intervalul de timp pe care se mediaza. Pentru marimi periodice valoarea medie se ia de obicei pe o perioada (daca nu se specifica altfel).

Proprietatile valorilor medii:

$\overline {const}=const, \overline {const*f}=const*\bar f , \overline {f+g}=\bar f + \bar g$ (1.28)

dar in general $\overline {f*g}\ne \bar f * \bar g$ (1.29)

unde avem semnul egal numai daca marimile f, g sunt independente (statistic necorelate sau necoerente).

Daca o marime variaza liniar in functie de un parametru, atunci valoarea sa medie in raport cu acel parametru este egala cu media aritmetica dintre valorile initiala si finala ale acelei marimi. De exemplu, in miscarea uniform variata $v=v_0+at$si atunci $\bar v=\frac{1}{2} (v_1+v_2)$,

Exemple:

$\overline {\sin(\omega t+\alpha)}=\frac{1}{T} \int_{t}^{t+T} \sin (\omega t+\alpha)dt=-\frac{1}{\omega T}[\cos(\omega t+\omega T+\alpha)-\cos(\omega t+\alpha)]=0, (\omega T=2\pi), \overline {\cos(\omega t+\alpha)}=0$, (1.30)

ceea ce era evident din interpretarea grafica a valorii medii.

$\overline {sin^2(\omega t+\alpha)}=\frac{\overline{1-\cos(2\omega t+2\alpha)}}{2}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2} \overline{cos(2\omega t+2\alpha)}=\frac{1}{2}$

$\overline{cos^2(\omega t+\alpha)}=\frac{1}{2}$ (1.31)

$\overline{\sin(\omega t+\alpha)\sin(\omega t+\beta)}=\overline{\cos(\omega t+\alpha)\cos(\omega t+\beta)}=\frac{1}{2}\cos(\alpha-\beta)$

$\overline{\sin(\omega t+\alpha)\cos(\omega t+\beta)}=\frac{1}{2}\sin(\alpha-\beta)$(1.32)

Media unei bucle (alternante) de sinusoida:

$\overline{sin \omega t}^{(0~T/2)}=\frac{2}{T} \int_{0}^{T/2}sin (\omega t)dt=\frac{2}{\pi}$. (1.33)

Pentru un oscilator armonic:

$E_c=\frac{1}{2}mv^2=\frac{1}{2}m\omega ^2A^2 cos^2(\omega t+\alpha), \bar E_c =\frac{1}{4} m\omega ^2 A^2=\frac{E}{2}$

$E_p=\frac{1}{2}kx^2=\frac{1}{2}kA^2 sin^2(\omega t+\alpha), \bar E_p =\frac{1}{4} k A^2=\frac{E}{2}$

$k=m\omega ^2, E=E_c+E_p=\frac{1}{2}kA^2=\frac{1}{2}m\omega ^2A^2=const.$ (1.34)

Scriind $F=-kx=ma=m\ddot{x}$, obtinem ecuatia diferentiala a oscilatorului armonic:

$\ddot{x}+\omega^2x=0$ sau $\frac{d^2x}{dt^2}+\omega^2x=0$ (1.35)

Catre Sumar->